Modulo

_____Modulo mempelajari sisa hasil bagi (reminder). Misalnya: berapakah sisa 100 dibagi 9? Dan, jawabnya adalah 1. Di sini, kita dapat menuliskannya menjadi: 100 mod 9 = 1 atau mod (100,9) = 1. Sebagai pengetahuan pula, 100 di sini dikatakan sebagai dividend, sedangkan 9 adalah divisor. Seringkali dalam bahasa pemrograman, mod dituliskan dalam simbol lain seperti % (dalam bahasa C).

_____Ada istilah “kongruen modulo”. Apa itu? Itu jika sisanya sama. Misalnya: 100 mod 9 = 1 dan 91 mod 9 = 1, maka dapat dikatakan bahwa 100 dan 91 itu kongruen modulo 9.

_____Nah, pengantarnya sudah selesai. Sekarang kita akan memasuki babak yang sangat seru dengan berbagai contoh soal yang menarik. Ayo kita sikat..!!

======================================================================
Kaidah 1: Kaidah dasar modulo yang totally gampang

a mod n = (b*n + c) mod n = c mod n , dimana b adalah bil. bulat

Soal 1: Berapakah sisa 4 dibagi 5? Jawab: 4 mod 5 = 4
Soal 2: Berapakah sisa 99 dibagi 13? Jawab: 99 mod 13 = (7*13+8)mod 13 = 8 mod 13 = 8
Soal 3: Berapakah sisa 100 dibagi 34?
Jawab: 100 mod 34 = ((3*34)-2)mod 34 = -2 mod 34 =((-1)*34+32)mod 34 = 32 mod 34= 32

Kaidah 2: Penjumlahan / Pengurangan merupakan Linearitas modulo

(a+b) mod n = ((a mod n) + (b mod n)) mod n

Soal 4 : Berapakah sisa (8+15+22) dibagi 7?
Jawab: (8+15+22) mod 7 =(8 mod 7 + 15 mod 7 + 22 mod 7) mod 7= (1+1+1) mod 7
_____= 3 mod 7 = 3

Soal 5 : Berapakah sisa (1992+1993+1994+…+ 1999) dibagi 2000?
Jawab :(1992+1993+1994+…+1999)mod 2000 = (-8-7-6-5-4-3-2-1) mod 2000
______= (-36)mod 2000 = (( -1)*2000+1964)mod 2000 = 1964 mod 2000 = 1964

Kaidah 3: Lagi-lagi, Perkalian juga linearitas modulo.

(a*b) mod n = ((a mod n) * (b mod n)) mod n

Bukti:
(a*b) mod n = ((pn + c)*(qn + d))mod n = (pqn² +dpn+cqn+cd)mod n = cd mod n. Karena c= a mod ndan d = b mod n, maka rumus di atas terbukti.
(Note: p dan q adalah bil. bulat)

Soal 6: Berapakah sisa (4*6) dibagi 5?
Jawab: (4*6) mod 5 = ((4 mod 5)*(6 mod 5)) mod 5 = (4*1) mod 5 = 4 mod 5 = 4

Soal 7: Berapakah digit terakhir dari (1996*1997*1998*1999)?
(Hint: mengenai digit terakhir, artinya sama dengan “berapakah sisanya jika dibagi 10”)
Jawab: (1996*1997*1998*1999) mod 10 = (6*7*8*9) mod 10 =(42*72) mod 10 =(2*2)mod 10 = 4

Kaidah 4: Modulo Bentuk Pangkat. Ini sama Saja Dengan Perkalian.!!

a^b mod n = ((a mod n)^b)mod n , b adalah bil.bulat

Soal 8: Berapakah sisa 3¹⁰⁰⁰ dibagi 4?
Jawab: 3¹⁰⁰⁰ mod 4 = ((1*4-1)¹⁰⁰⁰)) mod 4 = 1 mod 4 =1

Soal 9:Berapakah sisa jika 3²⁰⁰⁹ jika dibagi 41?
Jawab: (3²⁰⁰⁹) mod 41 = (9¹⁰⁰⁴*3) mod 41 = (81⁵⁰²*3) mod 41 = ((41*2-1)⁵⁰²*3)mod 41
______= ((-1)⁵⁰²*3)mod 41 = (1*3)mod 41 = 3 mod 41 = 3

Soal 10: Apakah 54⁵⁴ + 55⁵⁵ + 56⁵⁶ habis dibagi 7?
(Hint: jika menggunakan modulo, cek apakah sisanya 0 atau bukan)

Jawab: (54⁵⁴+55⁵⁵+56⁵⁶)mod 7
_____= (54⁵⁴mod 7+ 55⁵⁵ mod 7+ 56⁵⁶ mod 7)mod 7
_____= ((7*7+5)⁵⁴mod 7+ (8*7-1)⁵⁵ mod 7+ (8*7+0)⁵⁶ mod 7)mod 7
_____= (5⁵⁴mod 7+ (-1)⁵⁵ mod 7+ 0 mod 7)mod 7
_____= (5⁵⁴mod 7+ 6)mod 7
_____= (25²⁷mod 7+ 6)mod 7
_____= ((3*7+4)²⁷mod 7+ 6)mod 7
_____= ((4)^3*9mod 7+ 6)mod 7_____= ((64)⁹mod 7+ 6)mod 7_____= ((7*9+1)⁹mod 7+ 6)mod 7
_____= (1⁹mod 7+ 6)mod 7
_____= 7 mod 7
_____= 0 ____________Karena, sisanya 0, maka dapat habis dibagi 7

Penyelesaian modulo dapat diselesaikan dengan berbagai cara. Misalnya no.8, dapat dijawab dengan cara lain: 3¹⁰⁰⁰ mod 4 = 9⁵⁰⁰ mod 4 = (2*4+1)⁵⁰⁰ mod 4 = 1⁵⁰⁰ mod 4 = 1 mod 4 = 1.

GALAT atau ERROR

Masalah matematika tidak selalu dapat diselesaikan secara analitik, misalnya masalah matematika yang melibatkan integral dari fungsi – fungsi yang berbentuk kompleks . Sehingga dalam kasus demikian, komputasi numerik atau penyelesaian masalah menggunakan metode numerik menjadi salah satu pendekatan alternatif yang dapat digunakana untuk menyelesaiakan permasalahan tersebut. Strategi yang digunakan dalam komputasi numerik adalah menyederhanakan masalah melalui beberapa transformasi antaralain:

1. infinite --> finite
2. differential --> algebralic
3. nonlinear --> linear
4. complicated --> simple

Dalam penyelesaian masalah, metode numerik menggunakan operasi – operasi yang dapat dilakukan oleh komputer yaitu operasi aritmatika dan logika. Penggunaan komputer dapat memperpendek waktu yang digunakan untuk penyelesaian masalah – masalah yang membutuhkan waktu sangat lama bila dikerjakan secara manual. Solusi yang diperoleh melalui komputasi numerik biasanya berupa suatu hampira yang mengandung kesalahan numerik . Aspek penting dalam komputsi numerik selain kecepatan proses adalah keakuratan hasil. metode numerik yang baik adalah yang bisa memberikan solusi yang akurat dalam waktu yang relatif cepat.

SUMBER GALAT

1. Sebelum proses komputasi

• Kesalahan akibat model yang salah
• Kesalahan karena hasil observasi yang salah / pengukuran yang salah
• Kesalahan yang dibawa dari proses perhitungan yang sebelumnya

    2.  Selama proses komputasi

• Kesalahan karena hasil pendekatan
• Kesalahan karena proses pemangkasan atau pembulatan

Galat atau kesalahan dalam proses komputasi numerik dapat terjadi akibat adanya perbedaan antara bilangan x dan representasinya dalam komputer fl(x). Kesalahan ini dapat dihindari e_(x) = x - fl(x) = 0 , bilax dapat direpresentasikan dalam komputer tanpa mengubah apapun.

Bilangan Irasional

Bilangan irasional 
Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak rasional. Bilangan irasional bukan merupakan bilangan bulat dan juga bukan merupakan bilangan pecahan. Jika bilangan irasional ditulis dalam bentuk decimal, bilangan itu tidak mempunyai pola yang berulang secara teratur. Himpunan bilangan rasional adalah himpunan yang unsur-unsurnya merupakan bilangan rasional.
Contoh bilangan irasional √3 = 1,732050807 yang ternyata tidak mempunyai pola berulang secara teratur, dan tidak akan berakhir bilangan √3 merupakan salah satu contoh bilangan irasional. Bilangan-bilangan, n , dan e meupakan contoh- contoh lain bilangan irasional dengan
N =3,14
E = 2, 71828
Bilangan irasional yang dinyatakan sebagai akar suatu bilangan , misalnya bilangan-bilangan √2, √(3 ), √( 5) ,dan √6 dapat dinyatakan sebagai hasil pengukuran panjang. Dengan bantuan dalil Phytagoras nilai bilangan – bilangan tersebut dapat ditunjukan secara visual dalam suatu ruas garis tertentu. Jika satuan yang dipakai untuk mengukur adlah cm, maka √2 cm, √(3 ) cm,√( 5) cm,dan √6 cm.
Penjumlahan pada himpunan bilangan asli, pengurangan pada himpunan bilangan bulat dan pengkuadratan pada himpunan bilangan asli merupakan tiga contoh operasi bilangan . operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, atau pembagian kita mulai dengan mengambil dua unsur dan akan memperoleh unsur yang ketiga. Operasi semacam ini disebut operasi biner. “Bi” artinya dua. Sedangkan operasi-operasi pengkuadratan dan penarikan akar disebut operasi singular karena hanya melibatkan satu unsur.

Bilangan Rasional

Bilangan Rasional
Bilangan rasional merupakan bilangan yang dinyatakan sebagai perbandingan dua bilangan bulat a dan b, ditulis a/b dengan syarat b ≠ 0. Bilangan rasional terdiri dari :

1. Bilangan asli = 1, 2, 3, 4 , 5, …
2. Bilangan cacah = 0,1,2,3,…
3. Bilangan bulat = -3, -2, -1,0,1,2,3,…

Bilangan bulat dibagi menjadi tiga bagian yaitu : bilangan bulat negatif, bilangan bulat positif, bilangan bulat nol.
Bilangan-bilangan rasional 1/5, 1/3, 3/2, 22/7, 56/10, …, a/b… disebut bilangan-bilangan rasional pecahan biasa atau sering disebut pecahan biasa
Bilangan-bilangan rasional 2 1/2, 42/3, 75/6, 15 1/(9,), …. C a/b disebut bilangan-bilangan rasional pecahan sempurna atau sering disebut pecahan campuran
Bilangan rasional dapat juga ditulis sebagai decimal dengan deret angka yang berulang teratur. Anda dapat memperhatikan beberapa contoh berikut :
1/8 = 0,125000 … ( 0 berulang teratur)
1/6 = 0, 16666 … (6 berulang teratur )
1/4 = 0,25000 … ( 0 berulang teratur )
1/3 = 0,33333 … ( 3 berulang teratur)
3/7 = 0,428571428571 (428571 berulang beraturan)
1/2 = 0,50000 … (0 berulang teratur )
3/2 = 0,66666 … (6 berulang teratur)
17/9 = 1,8888 ... (8 berulang teratur )

AM-GM-HM dan QM

QM = adalah Qudatratic Mean (Rataan Kuadrat)
AM = adalah Arithmetic Mean (Rataan Aritmatik / Rataan Hitung)
GM = adalah Geometric Mean (Rataan Geometrik / Rataan Ukur)
HM = adalah Harmonic Mean (Rataan Harmonik)

QM = [[(x1)^2 + (x2)^2 + ... + (xn)^2]/n]^(1/2)
AM = (x1 + x2 + x3 + ... + xn)/n
GM = (x1.x2.x3......xn)^(1/n)
HM = n/[1/x1 + 1/x2 + 1/x3 + ... + 1/xn]

dan akan selalu berlaku bahwa

QM >= AM >= GM >= HM

Bukti:
kita ambil n=2

(a-b)^2 >= 0
a^2 - 2ab + b^2 >= 0
a^2 + b^2 >= 2ab

kedua ruas ditambah a^2 + b^2 lalu dikalikan 2 diperoleh:

4(a^2 + b^2) >= 2(a^2 + 2ab + b^2)
(a^2 + b^2)/2 >= (a^2 + 2ab + b^2)/4
(a^2 + b^2)/2 >= [(a+b)^2]/2^2
(a^2 + b^2)/2 >= [(a+b)/2]^2

[(a^2 + b^2)/2]^(1/2)>= (a+b)/2

QM >= AM

(Va-Vb)^2 >= 0
a - 2Vab + b >= 0
a+b >= 2Vab

(a+b)/2 >= (ab)^1/2

ket: V=akar kuadrat

AM >= GM

jika kedua ruas kita kalikan Vab dan dibagi (a+b) diperoleh

(Vab)/2 >= ab/(a+b)
Vab >= 2ab/(a+b)
Vab >= 2/[(a+b)/ab]

(ab)^1/2 >= 2/[1/a + 1/b]

GM >= HM

untuk n>2 bisa dibuktikan dengan metode induksi

CONTOH SOAL:

Buktikan bahwa setiap bilangan real positif x,y berlaku:

x/y + y/x >= 2

SOLUSI:

set a= x/y dan b=y/x pada AM-GM diperoleh:

(x/y + y/x)/2 >= V(x/y . y/x)
(x/y + y/x)/2 >= 1

x/y + y/x >= 2 Terbukti

CONTOH 2:

Buktikan bahwa:

(a + b + c + d)(1/a + 1/b + 1/c + 1/d) >= 16

SOLUSI:

AM >= HM

(a + b + c + d)/4 >= 4/(1/a + 1/b + 1/c + 1/d)
gunakan perkalian silang diperoleh:

(a + b + c + d)(1/a + 1/b + 1/c + 1/d) >= 4.4=16 Terbukti

CONTOH 3:

Buktikan bahwa:
jika n! = 1.2.3...n, maka

(500)^999 >= 999!

SOLUSI:

AM >= GM

(1+2+3+999)/999 >= (1.2.3.....999)^1/999

ingat bahwa 1+2+...+n = n(n+1)/2 shg (1+2+..+n)/n = n(n+1)/2n = (n+1)/2
dengan demikian:

1000/2 >= (999!)^1/999

500 >= (999!)^1/999

(500)^999 >= 999! Terbukti,

Nah masih banyak soal yg lainnya,

Silakan Soal2 berikut dicoba:

1) untuk a, b >0 buktikan bahwa

[(a+n.b)/(n+1)]^(n+1) >= a.b^n

2) Jika a,b>0 dan a+b=1 buktikan bahwa:

[a+1/a]^2 + [b+1/b]^2 >= 25/2

Oleh Nur Kholis di SOUL-MATE-MATIKA JILID 1

SIFAT SIFAT BILANGAN REAL

Apa itu bilangan real? bilangan real adalah seluruh bilangan dari negatif tak hingga sampai positif tak hingga , misalkan : - 1.000.000, -0,25, 1/3, 100, 1 milyar, dan seterusnya.
Semua bilangan Real memenuhi sifat sifat sebagai berikut :
1.) Sifat Komutatif :
penjumlahan : a+b = b+a
contoh : 2+3 = 3+2
Perkalian : a.b = b.a
contoh : 2.3 = 3.2

2.) Sifat Asosiatif
Penjumlahan : (a+b)+c = a+(b+c)
contoh : (2+3)+0,5 = 2+(3+0,5)
perkalian : (a.b).c = a.(b.c)
contoh : (2.3).0,5 = 2.(3.0,5)

3.) Sifat eksistensi bilangan 0
terdapat 0 elemen ℝ sedemikian hingga 0 + a = a dan a + 0 = a
contoh : 0 + 2 = 2+0

4.) Sifat eksistensi elemen negatif atau invers penjumlahan
untuk setiap a elemen ℝ terdapat -a elemen ℝ sedemikian hingga a + (-a) = 0 dan (-a) + a = 0
contoh : (-5) + 5 = 0 dan 5 + (-5) = 0

5.) Sifat eksistensi elemen unit 1
terdapat 1 elemen ℝ sedemikian hingga 1.a = a dan a.1 = a
contoh : 1. 2,4 = 2,4 . 1

6.) Sifat eksistensi invers perkalian
Untuk setian a elemen ℝ dengan a bukan sama dengan nol, terdapat 1/a elemen ℝ sedemikian sehinggan (1/a) . a = 1 dan a. (1/a) = 1
contoh : (1/5).5 = 1

7.) Sifat Distributif
a .(b + c) = (a.b) + (a.c) dan (b + c).a = (b.a) + (c.a)
contoh : 4.(2+3) = (4.2) + (4.3)

Bilangan Bulat

Bilangan bulat merupakan bilangan rasional yang bukan pecahan. Sebagai contoh, 3, 5, -4, dan sebagainya. Tetapi  merupakan pecahan, yang termasuk dalam himpunan bilangan rasional. Jika dibagi lagi jenisnya, maka terdiri dari bilangan negatif, 0 (nol), dan positif. Yang positif biasa disebut dengan bilangan asli. Bilangan asli ini bisa pula dibagi lagi menjadi 1, bilangan prima, dan bilangan komposit.

Sifat-sifat Bilangan Bulat

Terdapat beberapa sifat, yaitu:

1. Sifat tertutup
   Misalkan terdapat bilangan bulat a dan b, maka terdapat c sehingga a + b = c
2. Sifat komutatif untuk penjumlahan
   Untuk setiap a dan b berlaku a + b = b + a.
   Sifat ini biasa juga disebut dengan sifat pertukaran
3. Sifat asosiatif untuk penjumlahan
   Untuk setiap bilangan bulat a, b, c berlaku sifat:
   (a + b) + c = a + (b + c)
   Sifat ini biasa juga disebut dengan sifat pengelompokan
4. Sifat identitas dalam penjumlahan
   Untuk setiap bilangan bulat terdapat bilangan 0 sehingga:
   a + 0 = 0 + a = a
5. Mempunyai invers
   Untuk setiap bilangan bulat a, maka terdapat bilangan bulat b sehingga a + b = 0
6. Sifat asosiatif terhadap perkalian
   Untuk setiap bilangan bulat a, b, c berlaku:
   (a x b) x c = a x (b x c)
   Sama dengan sifat asosiatif pada penjumlahan, namun operator matematikanya berbeda.
   Artikel terkait: Perkalian Bilangan Bulat
7. Sifat komutatif terhadap perkalian
   Untuk setiap bilangan bulat a, b berlaku sifat:
   a x b = b x a
   Sama dengan sifat komutatif pada penjumlahan, namun operator matematikanya berbeda.
8. Unsur identitas dalam perkalian
   Untuk setiap bilangan bulat, terdapat bilangan 1 sehingga:
   a x 1 = 1 x a = a